Extrapolation des fonctions à bande limitée

Abstract

Tout le long de ce travail, la méthode d'extrapolation de papoulis de signaux unidimentionnels et bidimentionnels a été analysée et testée. Cette méthode s'applique aux fonctions à bande limitée. L'algorithme consiste en une méthode itérative qui utilise les propriétés des fonctions à bande limitée ainsi que les transformées directe et inverse de Fourier. L'algorithme s'appuie sur la réduction de l'énergie de l'erreur entre le signal obtenu et le signal désiré ou réel. La diminution de l'erreur quadratique ainsi que la convergence de l'algorithme ont été étudiées et démontrées pour le cas unidimentionnel au deuxième chapitre. Dans le cas bidimentionnel, la démonstration de la convergence, ainsi que, la réduction de l'erreur quadratique suivent les mêmes étapes. Néanmoins, leur présentation dans ce manuscrit peut alourdir ce travail et voiler, partiellement, l'aspect qualitatif de l'étude de cet algorithme. Au troisième chapitre, nous présenterons les différents résultats obtenus après avoir appliqué la méthode d'extrapolation à quelques exemples dans les deux domaines, unidimentionnel et bidimentionnel. Nous évaluerons, quantitativement, la réduction de l'erreur quadratique pour chaque cas. Il est à noter que, dans le cas unidimentionnel, l'extrapolation se fait à partir de la connaissance d'un segment; alors que, dans le cas bidimentionnel, l'extrapolation se fait à partir de la connaissance d'une surface. Ce qui suppose, intuitivement, une convergence moins rapide. Enfin, le dernier chapitre sera consacré à l'étude d'une application particulière de cette méthode à la reconstruction de la somme de deux sinusoïdes et à la comparaison entre l'algorithme de Papoulis et deux autres méthodes d'extrapolation: la méthode d'extrapolation de Harris, et une méthode consistant à développer la fonction à extrapoler en une somme d'ondes prolates sphéroïdales. Cette comparaison permet d'évaluer l'efficacité de la méthode présentée dans ce travail, et sa commodité de mise en œuvre informatique. A la fin de ce chapitre, on présentera, d'une manière succinte, une nouvelle approche d'extrapolation de fonctions à bande limitée bidimensionnelles.